【数学】 有理数单元知识点总结(有理数知识点整理)

有理数单元知识点

一、知识网络

二、目标认知

学习目标：

1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念。

2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算。

3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识。

重点：

理解绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等概念；有理数的正确运算。

难点：

有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。

三、知识要点梳理

知识点一 有理数的概念

1.有理数

1）整数与分数统称有理数

注：（1）正数和零统称为非负数；

（2）负数和零统称为非正数；

（3）正整数和零统称为非负整数；

（4）负整数和零统称为非正整数.

4）有理数“0”的作用：

作用

举例

表示数的性质

0是自然数、是有理数

表示没有

3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示

表示某种状态

0°C表示冰点

表示正数与负数的界点

0非正非负，是一个中性数

2.数轴

1）概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

2）注意：

（1）原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名

称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.

（3）数轴的画法及常见错误分析

① 画一条水平的直线；

① 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：

② 确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

③ 选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长

度要一致 .

数轴画法的常见错误举例：

3)有理数与数轴的关系

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.

注意：数轴上的点不都是有理数，如π.

3.相反数

1）相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.

表示法：a 与b互为相反数，则a+b=0，反之亦然 .

2）相反数的性质：

(1)代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．

相反数必须成对出现，不能单独存在．例如 +5和－5互为相反数，或者说+5是－5的相反数，－5是 +5的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然符号不同，但它们不是相反数．

(2)几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．

(3)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“一”号即可．一般地，数a的相反数是－a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是负数．

注意：当a＞O时，－a＜0(正数的相反数是负数)；

当 a=O时，－a=O(0的相反数是0)；

当 a＜0时，－a＞O (负数的相反数是正数)．

(4)互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为相反数．

(5)多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.

4.绝对值

1)绝对值的代数意义及几何意义

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

（2）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作“ |a|”.

注意：

①取绝对值也是一种运算，这个运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：－5，符号是负号，绝对值是5.

2) 字母a的绝对值的分类

3)利用绝对值比较两个负有理数的大小

规则：两个负数，绝对值大的反而小 .

步骤：①计算两个负数的绝对值.

②比较这两个绝对值的大小.

③写出正确的判断结果.

④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若|a|+|b|+|c|=0，则a=0，b=0，c=0

知识点二有理数运算

1.有理数比较大小

1）数轴上的数，右边的数总大于左边的数．

2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数

3）两个负数，绝对值大的反而小

4）两数比较大小，可按符号情况分类：

2.有理数的加减法

1）有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

（3）一个数同0相加，仍得这个数.

2）有理数加法的运算步骤

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

（1）确定和的符号；

（2）求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.

3）有理数加法的运算律

（1）两个加数相加，交换加数的位置，和不变.

a+b=b+a(加法交换律)

（2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)

4)有理数加法的运算技巧

（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式.

（2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

（4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

（6）符号相同的数可以先结合在一起.

5) 有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数a-b=a+(-b)

6)有理数减法的运算步骤

（1）把减号变为加号（改变运算符号）

（2）把减数变为它的相反数（改变性质符号）

（3）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

7) 有理数加减混合运算的步骤

（1）把算式中的减法转化为加法；

（2）省略加号与括号；

（3）利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：

根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。

3.有理数的乘除法

1)有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

任何数同0相乘，都得0.

2)有理数乘法的运算律

（1）两个数相乘，交换因数的位置，积相等.

ab=ba(乘法交换律)

（2）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

abc=a(bc)(乘法结合律)

（3）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)

3)有理数乘法法则的推广

(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.

(2)几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.

在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

4)有理数除法法则

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.

5)倒数及有理数除法

（1）乘积为1的两个数互为倒数。

倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是正数；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母颠倒位置即可（正整数可以看作分母为1的分数）。

注意：a，b互为倒数，则ab=1；a·b互为负倒数，则ab=－1。反之亦然.

（2）有理数除法的运算步骤：

首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值 .

4.有理数的乘方

1）概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数.

2）含义：aⁿ中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，aⁿ表示有n个a连续相乘.

例如：35表示3×3×3×3×3，(-3)5表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.(-2)7表示7个-2相乘，而-27则表示7个2相乘积的相反数.当n为奇数时，（-a）ⁿ= -aⁿ；而当n为偶数时，（-a）ⁿ= aⁿ .

注意： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

正数的任何次幂都是正数， 0的任何次幂都是0，任何不为0的数的0次幂都是“1”.

3）“奇负偶正”口诀的应用

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，

例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3.

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：（－3）2=9，（－3）3=－27.

4）有理数混合运算的运算顺序

(1)先乘方，再乘除，最后加减；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高(级)到低（级），从小（括号）到大（括号）”.

知识点三.近似数、有效数字和科学记数法

科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是整数），此种记法叫做科学记数法.

例如：200000=2×105就是科学记数法表示数的形式.10200000=1.02×107也是.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字. 如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7.

注意：万=104，亿=108..

四、规律方法指导

（一）正确理解正数和负数的意义

比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .

（二）理解数集的概念

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集.所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .

（三）掌握多重符号的化简规律

括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 . 在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 。

（这个内容我们将在第二章学习）

（四）会比较两个负有理数的大小

两个负有理数的大小比较与其它有理数一样，可以利用数轴来进行比较，右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值来进行，绝对值大的反而小 .

（五）掌握有关绝对值的计算及化简

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.

即：

（六）掌握有理数的运算法则

有理数的混合运算，一定要按顺序进行：先乘方，再乘除，最后加减，如果有括号，先算小括号，中括号，最后算大括号.

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